2017年硕士研究生《数学(三)》真题
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1、
( ).
( ).A.ab=
B.ab=-
C.ab=0
D.ab=2
本题答案：
A
A
2、二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是( )．
A.(0，0)
B.(0，3)
C.(3，0)
D.(1，1)
本题答案：
D
D
3、设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)>0，则( )．
A.f(1)>f(-1)
B.f(1) C.|f(1)|>|f(-1)| D.|f(1)|<|f(-1)|
本题答案：
C
4、
( ).
( ).A.1
B.2
C.-1
D.-2
本题答案：
C
C
5、设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )．
A.E-ααT不可逆
B.E+ααT不可逆
C.E+2ααT不可逆
D.E-2ααT不可逆
本题答案：
A
A
6、
( ).
( ).A.A与C相似，B与C相似
B.A与C相似，B与C不相似
C.A与C不相似，B与C相似
D.A与C不相似，B与C不相似
本题答案：
B
B
7、设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充分必要条件是( )．
A.A与B相互独立
B.A与B互不相容
C.AB与C相互独立
D.AB与C互不相容
本题答案：
C
C
8、
A.
B.
C.
D.
本题答案：
B
B
9、
_______.
_______.
本题答案：
【解析】
【解析】
10、差分方程yt+1-2yt=2t的通解为yt=_______.
本题答案：
【解析】
【解析】
11、设生产某产品的平均成本
(Q)=1+e-Q，其中产量为Q，则边际成本为_______.
(Q)=1+e-Q，其中产量为Q，则边际成本为_______.
本题答案：
1+(1-Q)e-Q
【解析】
由题意知，总成本为C=
Q=Q(1+e-Q)．
因此边际成本为C’(Q)=1+e-Q-Qe-Q=1+(1-Q)e-Q．
1+(1-Q)e-Q
【解析】
由题意知，总成本为C=
Q=Q(1+e-Q)．因此边际成本为C’(Q)=1+e-Q-Qe-Q=1+(1-Q)e-Q．
12、设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且df(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_______.
本题答案：
xyey
，
.由于f(x,y)=
,因此
，则
得c(y)=C.又f(0,0)=0,可得C=0，因此f(x,y)=xyey
xyey
，.由于f(x,y)=,因此，则得c(y)=C.又f(0,0)=0,可得C=0，因此f(x,y)=xyey13、设矩阵
为线性无关的三维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为_______.
为线性无关的三维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为_______.
本题答案：
2
【解析】
由α1，α2，α3线性无关，可知矩阵(α1，α2，α3)可逆，故
r(Aα1，Aα2，Aα3)=r(A(α1，α2，α3))=r(A)．
再由r(A)=2，得r(Aα1，Aα2，Aα3)=2．
2
【解析】
由α1，α2，α3线性无关，可知矩阵(α1，α2，α3)可逆，故
r(Aα1，Aα2，Aα3)=r(A(α1，α2，α3))=r(A)．
再由r(A)=2，得r(Aα1，Aα2，Aα3)=2．
14、设随机变量X的概率分布为P{X=-2}=
，P{X=1}=a，F{X=3}=6，若E(X)=0，则D(X)=_______.
，P{X=1}=a，F{X=3}=6，若E(X)=0，则D(X)=_______.
本题答案：
【解析】
【解析】
15、
本题答案：
解：令x-t=u，则t=x-u，dt=-du，从而
解：令x-t=u，则t=x-u，dt=-du，从而
16、
本题答案：
17、
本题答案：
18、
本题答案：
19、
(I)
(Ⅱ)证明(1-x)S'(x)-xS(x)=0(x∈(-1，1))，并求S(x)的表达式．
(I)
(Ⅱ)证明(1-x)S'(x)-xS(x)=0(x∈(-1，1))，并求S(x)的表达式．
本题答案：
20、设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．
(I)证明r(A)=2；
(Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．
(I)证明r(A)=2；
(Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．
本题答案：
解：(I)由α3=α1+2α2，可得α1+2α2-α3=0，可知α1，α2，α3线性相关．
因此可知r(A)≤2，且|A|=0，即A的特征值中必有0．
又A有三个不同的特征值，因此另外两个特征值非0，从而r(A)≥2．
解：(I)由α3=α1+2α2，可得α1+2α2-α3=0，可知α1，α2，α3线性相关．
因此可知r(A)≤2，且|A|=0，即A的特征值中必有0．
又A有三个不同的特征值，因此另外两个特征值非0，从而r(A)≥2．
21、设二次型f(x1，x2，x3)=
在正交变换x=Qy下的标准形为
，求a的值及一个正交矩阵Q．
在正交变换x=Qy下的标准形为，求a的值及一个正交矩阵Q．
本题答案：
22、(本题满分ll分)
(I)求P{Y≤E(Y)}；
(II).求Z=X+Y的概率密度．
(I)求P{Y≤E(Y)}；
(II).求Z=X+Y的概率密度．
本题答案：
23、某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量的结果X1，X2，…，xn相互独立且均服从正态分布N(μ，σ2)．该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi=|Xi-μ|(i=1，2，…，n)，利用Z1，Z2，…，Zn估计σ．
(I)求Zi的概率密度；
(II)利用一阶矩求σ的矩估计量；
(III)求σ的最大似然估计量．
(I)求Zi的概率密度；
(II)利用一阶矩求σ的矩估计量；
(III)求σ的最大似然估计量．
本题答案：
