2020年硕士研究生《数学(一)》真题
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1、当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
D
D
2、设函数f(x)在区间(-1，1)内有定义，且
，则( )
，则( )A.
B.
C.
D.
本题答案：
C
C
3、设函数f(x，y)在点(0，0)处可微f(0，0)=0，
且非零向量d与n垂直，则( )．
且非零向量d与n垂直，则( )．A.
B.
C.
D.
本题答案：
A
A
4、设R为幂级数
的收敛半径，r是实数，则( )．
的收敛半径，r是实数，则( )．A.
B.
C.
D.
本题答案：
A
A
5、若矩阵A经初等列变换化成B，则( )．
A.存在矩阵P，使得PA=B
B.存在矩阵P，使得BP=A
C.存在矩阵P，使得PB=A
D.方程组Ax=0与Bx=0同解
本题答案：
B
B
6、已知直线
相交于一点，法向量
，则( )．
相交于一点，法向量，则( )．A.
可由a2，a3线性表示
B.
可由a1，a3线性表示
C.
可由a1，a2线性表示
D.
，a2，a3线性无关
本题答案：
C
C
7、设A，B，C为三个随机事件，P(A)=P(B)=P(C)=
，P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=1，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为( )．
，P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=1，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为( )．A.
B.
C.
D.
本题答案：
D
D
8、设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=
，
(x)
表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得
的近似值为( )．
，(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得
的近似值为( )．A.1-
(1)
B.
(1)
C.1-
(0．2)
D.
(0．2)
本题答案：
B
B
9、
本题答案：
-1
【解析】
-1
【解析】
10、
本题答案：
【解析】
【解析】
11、若函数f(x)满足f”(x)+af’(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m，f'(0)=n，则
本题答案：
n+am
【解析】
特征方程为λ2+aλ+1=0(a>0)，设特征根为λ1，λ2，则λ1+λ2=-a，
λ1λ2=1，特征辛艮λ1<0，λ2<0．
n+am
【解析】
特征方程为λ2+aλ+1=0(a>0)，设特征根为λ1，λ2，则λ1+λ2=-a，
λ1λ2=1，特征辛艮λ1<0，λ2<0．
12、
本题答案：
4e
【解析】
4e
【解析】
13、
本题答案：
a4-4a2
【解析】
a4-4a2
【解析】
14、设X服从区间(-
)上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X，Y)=——．
)上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X，Y)=——．
本题答案：
【解析】
【解析】
15、求函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．
本题答案：
求一阶导数可得
求一阶导数可得
16、计算曲线积分
，其中L是x2+y2=2，方向为逆时针方向．
，其中L是x2+y2=2，方向为逆时针方向．
本题答案：
17、设数列{an}满足a1=1，(n+1)an+1=(n+
)an，证明：当|x|<1时，幂级数
收敛，并求其和函数．
)an，证明：当|x|<1时，幂级数收敛，并求其和函数．
本题答案：
由(n+1)an+1=(n+
)an，a1=1知an>0，
由(n+1)an+1=(n+
)an，a1=1知an>0， 18、设∑为曲面z=
(1≤x2+y2≤4)的下侧,f(x)是连续函数，计算I=
(1≤x2+y2≤4)的下侧,f(x)是连续函数，计算I=
本题答案：
19、设函数f(x)在区间[0，2]上具有连续导数f(0)=f(2)=0，M=max{|f(x)|}，x∈[0，2]，
证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，2)，使得|f'(ξ)|≥M；
(Ⅱ)若对任意的x∈(0，2)，|f’(x)|≤M，则M=0．
证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，2)，使得|f'(ξ)|≥M；
(Ⅱ)若对任意的x∈(0，2)，|f’(x)|≤M，则M=0．
本题答案：
(Ⅰ)由M=max{|f(x)|}，x
[0，2]知存在c∈(0，2)，使|f(c)|=M.若
c∈(0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一点
∈(0，c)，使
(Ⅱ)若M>0，则c≠0，2．
由f(0)=f(2)=0及罗尔定理知存在
∈(0，2)，使f’()=0．
当／∈(0，c]时，
于是2M故M=0．
(Ⅰ)由M=max{|f(x)|}，x
[0，2]知存在c∈(0，2)，使|f(c)|=M.若c∈(0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一点
∈(0，c)，使(Ⅱ)若M>0，则c≠0，2．
由f(0)=f(2)=0及罗尔定理知存在
∈(0，2)，使f’()=0．当
／∈(0，c]时，于是2M
20、设二次型f(x1，x2)=
经正交变换
化为二次型g(y1，y2)=
，其中a≥b．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求正交矩阵Q．
经正交变换化为二次型g(y1，y2)=，其中a≥b．(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求正交矩阵Q．
本题答案：
(I)
由题意可知QTAQ=Q-1AQ=B，
∴A相似于B，
a≥b．
∴a=4．b=1．
(Ⅱ)
∴A的特征值为0，5．
当λ=0时，解(OE—A)x=0得基础解为
当λ=5时，解(5E—A)x=0得基础解为
又B的特征值也为0，5，
当λ=0时，解(0E-B)x=0得
当λ=5时，解(5E-B)x=0得
对
，
单位化，得
(I)
由题意可知QTAQ=Q-1AQ=B，
∴A相似于B，
a≥b．
∴a=4．b=1．
(Ⅱ)
∴A的特征值为0，5．
当λ=0时，解(OE—A)x=0得基础解为
当λ=5时，解(5E—A)x=0得基础解为
又B的特征值也为0，5，
当λ=0时，解(0E-B)x=0得
当λ=5时，解(5E-B)x=0得
对
，单位化，得 21、设A为二阶矩阵，P=(
，A)，其中是非零向量且不是A的特征向量．
(I)证明P为可逆矩阵；
(Ⅱ)若A2+A-6=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．
，A)，其中是非零向量且不是A的特征向量．(I)证明P为可逆矩阵；
(Ⅱ)若A2
+A-6=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．
本题答案：
(I)因为
≠0且不是A的特征向量，所以A≠
，
故与A线性无关，
则r(，A)=2，
则P可逆．
(11)解法一
因为A2+A-6=0，即A2=-A+6，
解得=-3，2，
所以A的特征值为-3，2．于是A可相似对角化．
解法二
P-1AP同解法一．
由A2+A-6=0，
得(A2+A-6E)=0，
即(A+3E)(A-2E)=0，
由≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解，
故|(A+3E)(A-2E)|=0，
得|A+3E|=0或|A-2E|=0．
若|A+3E|≠0，则(A一2E)=0，故A=2与题意矛盾，
故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0．
于是A的特征值为-3，2，
A有2个不同特征值，故A可相似对角化．
(I)因为
≠0且不是A的特征向量，所以A≠，故
与A线性无关，则r(
，A)=2，则P可逆．
(11)解法一
因为A2
+A-6=0，即A2=-A+6，解得
=-3，2，所以A的特征值为-3，2．于是A可相似对角化．
解法二
P-1AP同解法一．
由A2
+A-6=0，得(A2+A-6E)
=0，即(A+3E)(A-2E)
=0，由
≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解，故|(A+3E)(A-2E)|=0，
得|A+3E|=0或|A-2E|=0．
若|A+3E|≠0，则(A一2E)
=0，故A=2与题意矛盾，故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0．
于是A的特征值为-3，2，
A有2个不同特征值，故A可相似对角化．
22、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1与X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P{X3=0}=P{X3=1}=
，Y=X3X1+(1-X3)X2．
(Ⅰ)求二维随机变量(X1，Y)的分布函数，结果用标准正态分布函数
(x)表示；
(Ⅱ)证明随机变量Y服从标准正态分布．
，Y=X3X1+(1-X3)X2．(Ⅰ)求二维随机变量(X1，Y)的分布函数，结果用标准正态分布函数
(x)表示；(Ⅱ)证明随机变量Y服从标准正态分布．
本题答案：
(I)F(x，y)=P{x，≤x，Y≤y}
若x>y，则
P{X1≤x，X1≤y|X3=1}=P{X1≤y}=
(y)，
(I)F(x，y)=P{x，≤x，Y≤y}
若x>y，则
P{X1≤x，X1≤y|X3=1}=P{X1≤y}=(y)， 23、设某种元件的使用寿命T的分布函数为
其中0，m为参数且大于零．
(Ⅰ)求概率P{T>t}与P{T>s+t|T>s}，其中s>0，t>0；
(Ⅱ)任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1，t2，…，tn，若m已知，求
的最大似然估计值
．
其中0，m为参数且大于零．(Ⅰ)求概率P{T>t}与P{T>s+t|T>s}，其中s>0，t>0；
(Ⅱ)任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1，t2，…，tn，若m已知，求
的最大似然估计值．
本题答案：
